Економічні задачі

Необхідно визначити курсову вартість акцій цінних паперів при таких умовах: розмір дивідендів за акціями дорівнює 30 %, банківська відсоткова ставка 20 %.

Рішення:

Незалежно від номінальної ціни на ринку цінних паперів акції продаються за ринковою або курсовою ціною, яка знаходиться в прямій залежності від принесеного ними дивіденду й у зворотній залежності від позичкового відсотка.

Курсова вартість акції розраховується за формулою:

К = Н×Iд/Іб,

де Н - номінальна ціна акції;

Iд - ставка дивіденду за акцією;

Іб - ставка банківського відсотка.

К = 1 × 0,30 / 0,20 = 1,5 гр. од.

Таким чином, визначена курсова вартість акції, виходячи з умови отримання однакового доходу шляхом придбання акції або розміщення грошових коштів на банківському депозиті.

Визначте розмір очікуваного прибутку від реалізованого продукту, якщо підприємство планує реалізувати 1500 виробів. Повна собівартість одного виробу  - 12 грн.. оптова вартість одного виробу  - 15 грн.

Розв’язок

1 варіант розрахунку:

Прибуток від реалізації одного виробу - 2 грн. (15 - 12 = 3).

Прибуток від реалізації запланованої кількості виробів - 4500 грн.

 (1500 * 3 = 4500).

2 варіант розрахунку:

Обсяг реалізації всієї кількості виробів - 22500 грн. (15 * 1500 = 22500),

 собівартість - 18000 грн. (12 * 1500 = 18000).

Прибуток від реалізації запланованої кількості виробів -4500грн.

22500 -18000 = 4500).

Ви плануєте здати земельну ділянку в оренду на два роки з щомісячною оплатою 5000 грн. Яку суму ви отримаєте в кінці другого року, якщо гроші відразу надходять на рахунок в банк, що дає по вкладам 24 % річних за складними відсотками

Формула обрахунку складних відсотків

де B - майбутня вартість;

A - поточна вартість;

P - відсоткова ставка за розрахунковий період (день, місяць, рік, ...);

n - кількість розрахункових періодів.

Щомісячний внесок: 5000 грн

Відсоткова ставка: 24% в рік

Термін депозиту: 24 місяців

Знайдемо реальну місячну відсоткову ставку:

Переформулюємо задачу

Щомісячний внесок: 5000 грн

Відсоткова ставка: 1.8087% в місяць

Термін депозиту:т24 місяців

Кінцева сума виплат:

B =(1+1.8087/1000)²⁴ =143610.23 грн.

Час руху вантажу від постачальника до споживача становить 24 днів. Поштовий пробіг документів — 10 днів. Обробка документів у постачальника і в банківських установах — 6 днів. За цих умов транспортний запас дорівнює 8 дням (24–10–6).

Пояснення.  Транспортний запас визначається як різниця між часом перебування вантажу в дорозі від постачальника до споживача та часом поштового пробігу розрахункових документів, їх оформлення вантажовідправником і обробки банками за місцем знаходження постачальника і споживача.

Підприємство шиє легкі жіночі плаття і продає їх за ціною 80 грн, кожне. Змінні витрати на виготовлення плаття становлять 50 грн. Підприємство орендує приміщення і платить за це 2000 грн щомісяця.

1) Скільки виробів треба виготовити підприємству для досягнення точки беззбитковості?

2) Скільки виробів повинно виготовити підприємство, щоб отримали прибуток у 2000 грн?

3) Який запас фінансової міцності має підприємство при отриманні 2000 грн прибутку?

Розв’язок.

Щоб дати відповідь на всі поставлені питання, необхідно насамперед усвідомити, що:

Прибуток = Виручка – Витрати;

Витрати = змінні + постійні, тоді

Прибуток = Виручка – змінні витрати – постійні витрати.

Невідому кількість виробів позначимо буквою Х,

тоді виручка матиме вигляд -   (Ціна*Х);

змінні витрати -   (змінні витрати на одиницю*Х)

постійні витрати – (постійні витрати на одиницю*Х);

     Точкою беззбитковості є така точка обсягу продаж, при якій витрати дорівнюють виручці від реалізації всієї продукції, тобто, немає ні прибутку, ні збитку.

Прибуток =(Ціна*Х) -  (змінні витрати на одиницю*Х) -– (постійні витрати на одиницю*Х), що повинно дорівнювати нулю.

80Х- 50Х- 2000 =0;  30Х = 2000; Х = 2000/30 = 66,67 або 67 од.

Підприємству треба виготовити для досягнення точки беззбитковості 67 одиниць виробів.

2     Щоб отримали прибуток у 2000 грн вираз матиме вигляд:

80Х- 50Х- 2000 =2000;   30Х = 4000;  Х = 4000/30 = 133,3 або 133 од.

Щоб отримати прибуток у сумі 2000 грн., необхідно виготовити 133 одиниць виробів.

      Запас фінансової міцності – це перевищення фактичної чистої виручки над беззбитковим оборотом.

Запас фінансової міцності = фактична чиста виручка - беззбитковий оборот;

В грошовому виразі фактична чиста виручка =80* 133 = 10640;

беззбитковий оборот = 80* 67 = 5360.

Запас фінансової міцності = 10640 грн. – 5360 грн. = 5280 грн.- в грошовому виразі

або   5280/ 10640 = 0,496*100% = 49 (грн).

Для хеджування ризику, що може виникнути при підвищенні ціни на нафту авіаційна компанія купує аукціон "кол" на авіаційний керосин за ціною виконання 680 $ за тону, сплативши премію 30 $  за тону. Визначте дії та фінансовий результат авіакомпанії, якщо ринкова ціна на авіакеросин становитиме 640 $ за тону.

Дано:

Ц₁ = 680 $

Ц₂ = 640

Премія  30 $.

Розвязок:

Ціна покупки

 680 + 30 = 710$

710 – 640 = 70 $ – збиток авіаційної компанії.

Фінансовий результат:

Оскільки ринкова ціна на авіаційний керосин до моменту закінчення контракту менша за ціну виконання, тому авіаційна компанія не виконає опціон. Збиток по операції дорівнює сумі сплаченої премії, тобто 30 $  за тону.

2.47. Промислове підприємство виготовляє продукцію трьох видів А, В і С, для чого використовує два види ресурсів 1 і 2, запаси яких становлять відповідно 4000 та 6000 од. Витрати

Ресурс	Витрати ресурсів на одиницю продукції, ум. од., за видами
	А	В	С
1	2	5	5
2	4	2	7

Аналіз умов збуту продукції показав, що мінімальний попит на продукцію підприємства для продукції А, В і С відповідно становить 200, 200 та 150 од. Але співвідношення випуску продукції А, В і С має бути 3 : 2 : 5. Прибуток від реалізації одиниці продукції виду А становить 30 дол., продукції В — 20 дол., а продукції С — 50 дол.

Сформулювати та розв’язати задачу визначення оптимального плану виробництва продукції трьох видів, що дає підприємству найбільший прибуток.

Розв’язання

Сформулюємо математичну модель даної задачі та двоїстої до неї. Шуканий випуск продукції A позначимо через x₁, продукції B – через x₂, продукції С – через x₃. Оскільки є обмеження на виділені ресурси кожного виду, змінні x₁ – x₃ повинні задовольняти таким умовам:

1) 2x₁ + 5x₂ + 5x₃ ≤ 4000,

2) 4x₁ + 2x₂ + 7x₃ ≤ 6000.

Крім того, враховуючи умови попиту продукції, змінні повинні бути в межах:

3) x₁ > 200,

4) x₂ > 200,

5) x₃ > 150.

Оскільки співвідношення випуску продукції А, В і С має бути 3:2:5, то

6) 3x₁ – 2x₂ = 0,

7) 2x₂ – 5x₃ = 0.

Загальна вартість продукції при цьому складає: z = 30x₁ + 20x₂ + 50x₃.

За своїм економічним змістом змінні x₁, x₂, x₃ більші 0.

Отже, приходимо до математичної задачі: серед всіх невід’ємних розв’язків системи нерівностей потрібно знайти такий, при якому функція z набуде максимального значення:

z = 30x₁ + 20x₂ + 50x₃ → max

Приведемо нерівність  до системи рівнянь шляхом введення додаткових змінних.

2x₁+5x₂+5x₃+x₄ = 4000
4x₁+2x₂+7x₃+x₅ = 6000
x₁-x₆ = 200
x₂-x₇ = 200
x₃-x₈ = 150
3x₁-2x₂ = 0
2x₂-5x₃ = 0
Розширена матриця системи:

2	5	5	1	0	0	0	0	4000
4	2	7	0	1	0	0	0	6000
1	0	0	0	0	-1	0	0	200
0	1	0	0	0	0	-1	0	200
0	0	1	0	0	0	0	-1	150
3	-2	0	0	0	0	0	0	0
0	2	-5	0	0	0	0	0	0

Наведемо систему до одиничної матриці методом жордановскіх перетворень.

В якості базової змінної можна вибрати x4, x5,. x6.

Отримуємо нову матрицю:

2	5	5	1	0	0	0	0	4000
4	2	7	0	1	0	0	0	6000
-1	0	0	0	0	1	0	0	-200
0	1	0	0	0	0	-1	0	200
0	0	1	0	0	0	0	-1	150
3	-2	0	0	0	0	0	0	0
0	2	-5	0	0	0	0	0	0

В якості базової змінної можна вибрати x₇.

2	5	5	1	0	0	0	0	4000
4	2	7	0	1	0	0	0	6000
-1	0	0	0	0	1	0	0	-200
0	-1	0	0	0	0	1	0	-200
0	0	1	0	0	0	0	-1	150
3	-2	0	0	0	0	0	0	0
0	2	-5	0	0	0	0	0	0

В якості базової змінної можна вибрати x₈.

2	5	5	1	0	0	0	0	4000
4	2	7	0	1	0	0	0	6000
-1	0	0	0	0	1	0	0	-200
0	-1	0	0	0	0	1	0	-200
0	0	-1	0	0	0	0	1	-150
3	-2	0	0	0	0	0	0	0
0	2	-5	0	0	0	0	0	0

Представимо розрахунки кожного елементу:

2-(0 • 5):-5	5-(2 • 5):-5	5-(-5 • 5):-5	1-(0 • 5):-5	0-(0 • 5):-5	0-(0 • 5):-5	0-(0 • 5):-5	0-(0 • 5):-5	4000-(0•5):-5
4-(0 • 7):-5	2-(2 • 7):-5	7-(-5 • 7):-5	0-(0 • 7):-5	1-(0 • 7):-5	0-(0 • 7):-5	0-(0 • 7):-5	0-(0 • 7):-5	6000-(0•7):-5
-1-(0 • 0):-5	0-(2 • 0):-5	0-(-5 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	1-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	-200-(0•0):-5
0-(0 • 0):-5	-1-(2 • 0):-5	0-(-5 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 •0):-5	0-(0 • 0):-5	1-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	-200-(0•0):-5
0-(0 • -1):-5	0-(2 • -1):-5	-1-(-5 • -1):-5	0-(0 • -1):-5	0-(0•-1):-5	0-(0 • -1):-5	0-(0 •-1):-5	1-(0•-1):-5	-150-(0•-1):-5
3-(0 • 0):-5	-2-(2 • 0):-5	0-(-5 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5	0-(0 • 0):-5
0 : -5	2 : -5	-5 : -5	0 : -5	0 : -5	0 : -5	0 : -5	0 : -5	0 : -5

Отримуємо нову матрицю:

2	7	0	1	0	0	0	0	4000
4	4.8	0	0	1	0	0	0	6000
-1	0	0	0	0	1	0	0	-200
0	-1	0	0	0	0	1	0	-200
0	-0.4	0	0	0	0	0	1	-150
3	-2	0	0	0	0	0	0	0
0	-0.4	1	0	0	0	0	0	0

2-(3 • 7):-2	7-(-2 • 7):-2	0-(0 • 7):-2	1-(0 • 7):-2	0-(0 • 7):-2	0-(0 • 7):-2	0-(0 • 7):-2	0-(0 • 7):-2	4000-(0•7):-2
4-(3 • 4.8):-2	4.8-(-2 • 4.8):-2	0-(0 • 4.8):-2	0-(0 • 4.8):-2	1-(0 • 4.8):-2	0-(0 • 4.8):-2	0-(0 • 4.8):-2	0-(0 • 4.8):-2	6000-(0•4.8):-2
-1-(3 • 0):-2	0-(-2 • 0):-2	0-(0 • 0):-2	0-(0 • 0):-2	0-(0 • 0):-2	1-(0 • 0):-2	0-(0 • 0):-2	0-(0 • 0):-2	-200-(0 • 0):-2
0-(3 • -1):-2	-1-(-2 • -1):-2	0-(0 • -1):-2	0-(0 • -1):-2	0-(0 • -1):-2	0-(0 • -1):-2	1-(0 • -1):-2	0-(0 • -1):-2	-200-(0 • -1):-2
0-(3 • -0.4):-2	-0.4-(-2 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	1-(0 • -0.4):-2	-150-(0 • -0.4):-2
3 : -2	-2 : -2	0 : -2	0 : -2	0 : -2	0 : -2	0 : -2	0 : -2	0 : -2
0-(3 • -0.4):-2	-0.4-(-2 • -0.4):-2	1-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2	0-(0 • -0.4):-2

Отримуємо нову матрицю:

12.5	0	0	1	0	0	0	0	4000
11.2	0	0	0	1	0	0	0	6000
-1	0	0	0	0	1	0	0	-200
-1.5	0	0	0	0	0	1	0	-200
-0.6	0	0	0	0	0	0	1	-150
-1.5	1	0	0	0	0	0	0	0
-0.6	0	1	0	0	0	0	0	0

Оскільки в системі є одинична матриця, то в якості базисних змінних приймаємо

X = (4,5,6,7,8,2,3).

Висловимо базисні змінні через інші:

x₄ = -12.5x₁+4000
x₅ = -11.2x₁+6000
x₆ = x₁-200
x₇ = 1.5x₁-200
x₈ = 0.6x₁-150
x₂ = 1.5x₁
x₃ = 0.6x₁

Підставами їх в цільову функцію:

z = 30x₁+20(1.5x₁)+50(0.6x₁)
z = 90x₁Серед вільних членів bi є негативні значення, отже, отриманий базисний план не є опорним. Замість змінної x6 слід ввести змінну x1. Виконуємо перетворення симплексної таблиці методом Жордана-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	1500	0	0	0	1	0	12.5	0	0
x5	3760	0	0	0	0	1	11.2	0	0
x1	200	1	0	0	0	0	-1	0	0
x7	100	0	0	0	0	0	-1.5	1	0
x8	-30	0	0	0	0	0	-0.6	0	1
x2	300	0	1	0	0	0	-1.5	0	0
x3	120	0	0	1	0	0	-0.6	0	0
F(X0)	-18000	0	0	0	0	0	90	0	0

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
4000-(-200 • 12.5):-1	12.5-(-1 • 12.5):-1	0-(0 • 12.5):-1	0-(0 • 12.5):-1	1-(0 • 12.5):-1	0-(0 • 12.5):-1	0-(1 • 12.5):-1	0-(0 • 12.5):-1	0-(0 • 12.5):-1
6000-(-200 • 11.2):-1	11.2-(-1 • 11.2):-1	0-(0 • 11.2):-1	0-(0 • 11.2):-1	0-(0 • 11.2):-1	1-(0 • 11.2):-1	0-(1 • 11.2):-1	0-(0 • 11.2):-1	0-(0 • 11.2):-1
-200 : -1	-1 : -1	0 : -1	0 : -1	0 : -1	0 : -1	1 : -1	0 : -1	0 : -1
-200-(-200 • -1.5):-1	-1.5-(-1 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(1 • -1.5):-1	1-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1
-150-(-200 • -0.6):-1	-0.6-(-1 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(1 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	1-(0 • -0.6):-1
0-(-200 • -1.5):-1	-1.5-(-1 • -1.5):-1	1-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(1 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1	0-(0 • -1.5):-1
0-(-200 • -0.6):-1	-0.6-(-1 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	1-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(1 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1	0-(0 • -0.6):-1

еред вільних членів bi є негативні значення, отже, отриманий базисний план не є опорним. Замість змінної x8 слід ввести змінну x6.Виполняем перетворення симплексной таблиці методом Жордана-Гаусса.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	875	0	0	0	1	0	0	0	20.833
x5	3200	0	0	0	0	1	0	0	18.667
x1	250	1	0	0	0	0	0	0	-1.667
x7	175	0	0	0	0	0	0	1	-2.5
x6	50	0	0	0	0	0	1	0	-1.667
x2	375	0	1	0	0	0	0	0	-2.5
x3	150	0	0	1	0	0	0	0	-1
F(X1)	-22500	0	0	0	0	0	0	0	150

B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
1500-(-30 • 12.5):-0.6	0-(0 • 12.5):-0.6	0-(0 • 12.5):-0.6	0-(0 • 12.5):-0.6	1-(0 • 12.5):-0.6	0-(0 • 12.5):-0.6	12.5-(-0.6 • 12.5):-0.6	0-(0 • 12.5):-0.6	0-(1 • 12.5):-0.6
3760-(-30 • 11.2):-0.6	0-(0 • 11.2):-0.6	0-(0 • 11.2):-0.6	0-(0 • 11.2):-0.6	0-(0 • 11.2):-0.6	1-(0 • 11.2):-0.6	11.2-(-0.6 • 11.2):-0.6	0-(0 • 11.2):-0.6	0-(1 • 11.2):-0.6
200-(-30 • -1):-0.6	1-(0 • -1):-0.6	0-(0 • -1):-0.6	0-(0 • -1):-0.6	0-(0 • -1):-0.6	0-(0 • -1):-0.6	-1-(-0.6 • -1):-0.6	0-(0 • -1):-0.6	0-(1 • -1):-0.6
100-(-30 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	-1.5-(-0.6 • -1.5):-0.6	1-(0 • -1.5):-0.6	0-(1 • -1.5):-0.6
-30 : -0.6	0 : -0.6	0 : -0.6	0 : -0.6	0 : -0.6	0 : -0.6	-0.6 : -0.6	0 : -0.6	1 : -0.6
300-(-30 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	1-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	-1.5-(-0.6 • -1.5):-0.6	0-(0 • -1.5):-0.6	0-(1 • -1.5):-0.6
120-(-30 • -0.6):-0.6	0-(0 • -0.6):-0.6	0-(0 • -0.6):-0.6	1-(0 • -0.6):-0.6	0-(0 • -0.6):-0.6	0-(0 • -0.6):-0.6	-0.6-(-0.6 • -0.6):-0.6	0-(0 • -0.6):-0.6	0-(1 • -0.6):-0.6

x₄ = -20.833x₈+875
x₅ = -18.667x₈+3200
x₁ = 1.667x₈+250
x₇ = 2.5x₈+175
x₆ = 1.667x₈+50
x₂ = 2.5x₈+375
x₃ = x₈+150

z = 30(1.667x₈+250)+20(2.5x₈+375)+50(x₈+150)

z = 150x₈+22500

x₄+20.833x₈=875
x₅+18.667x₈=3200
x₁-1.667x₈=250
x₇-2.5x₈=175
x₆-1.667x₈=50
x₂-2.5x₈=375
x₃-x₈=150

При обчисленнях значення Fc = 22500 тимчасово не враховуємо.

Вирішимо систему рівнянь щодо базисних змінних: x4, x5, x1, x7, x6, x2, x3

Вважаючи, що вільні змінні рівні 0, отримаємо перший опорний план:

X0 = (250,375,150,875,3200,50,175,0)

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x4	875	0	0	0	1	0	0	0	20.833
x5	3200	0	0	0	0	1	0	0	18.667
x1	250	1	0	0	0	0	0	0	-1.667
x7	175	0	0	0	0	0	0	1	-2.5
x6	50	0	0	0	0	0	1	0	-1.667
x2	375	0	1	0	0	0	0	0	-2.5
x3	150	0	0	1	0	0	0	0	-1
F(X0)	0	0	0	0	0	0	0	0	-150

D_i = b_i / a_i8
min (875 : 20.833 , 3200 : 18.667 , - , - , - , - , - ) = 42

Дозволяючий елемент дорівнює (20.833) і знаходиться на перетині ведучого рядка і ведучого рядка.

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	min
x4	875	0	0	0	1	0	0	0	20.833	42
x5	3200	0	0	0	0	1	0	0	18.667	171.429
x1	250	1	0	0	0	0	0	0	-1.667	-
x7	175	0	0	0	0	0	0	1	-2.5	-
x6	50	0	0	0	0	0	1	0	-1.667	-
x2	375	0	1	0	0	0	0	0	-2.5	-
x3	150	0	0	1	0	0	0	0	-1	-
F(X1)	0	0	0	0	0	0	0	0	-150	0

Формуємо наступну частину симплексного таблиці. Замість змінної x4 в план 1 увійде змінна x8. Отримуємо нову симплекс-таблицю:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x8	42	0	0	0	0.048	0	0	0	1
x5	2416	0	0	0	-0.896	1	0	0	0
x1	320	1	0	0	0.08	0	0	0	0
x7	280	0	0	0	0.12	0	0	1	0
x6	120	0	0	0	0.08	0	1	0	0
x2	480	0	1	0	0.12	0	0	0	0
x3	192	0	0	1	0.048	0	0	0	0
F(X1)	6300	0	0	0	7.2	0	0	0	0

Серед значень індексного рядка немає від'ємних. Тому ця таблиця визначає оптимальний план завдання. Остаточний варіант симплекс-таблиці:

Базис	B	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8
x8	42	0	0	0	0.048	0	0	0	1
x5	2416	0	0	0	-0.896	1	0	0	0
x1	320	1	0	0	0.08	0	0	0	0
x7	280	0	0	0	0.12	0	0	1	0
x6	120	0	0	0	0.08	0	1	0	0
x2	480	0	1	0	0.12	0	0	0	0
x3	192	0	0	1	0.048	0	0	0	0
F(X2)	6300	0	0	0	7.2	0	0	0	0

Оптимальний план:

x₁ = 320, x₂ = 480, x₃ = 192

z = 30•320 + 20•480 + 50•192 = 28800.