ЗМІСТ

 

ВСТУП…..………………………………………………………………….3

І.ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ ТА ПРИКЛАДИ………………………….4

1.1. Визначення……………………………………………………………..4

1.2. Поліциклічність та надрозв’язність…………………………………..6

ІІ. КІНЦЕВІ РОЗВ’ЯЗНІ ГРУПИ……………………………………...…..7

2.1. Холлівські та картерівські підгрупи……………………………….…7

2.2. Про повну провідність представлень…………………………….…11

2.3. Критерій надрозв’язності……............................................................15

ІІІ. РОЗВ'ЯЗНІ ГРУПИ МАТРИЦЬ……………………………………..18

3.1. Майже тріангуліарність………………………………………….….18

3.2. Поліциклічність розв’язних груп з GL_n(Z)………………………….23

IV. УЗАГАЛЬНЕННЯ РОЗВ'ЯЗНОСТІ………………………………….28

4.1. Класи Куроша-Чернікова…………………………………………….28

ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА………………………………………………..30

ВИСНОВКИ………………………………………………………………36

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА………………………………………....37

 

 

 

 

 

ВСТУП

 

Знадобилася робота кількох поколінь математиків, що зайняло в цілому близько ста років, перш ніж ідея групи викристалізувалася з її сьогоднішньої ясністю. Від Лагранжа, який стихійно застосовував групи підстановок для розв’язку алгебраїчних рівнянь в радикалах (1771), через роботи Руффіні (1799) і Абеля (1824) до Евариста Галуа, в роботах якого (1830) вже досить свідомо використовується ідея групи (ним же вперше введений і сам термін), - ось шлях, по якому розвивалася ця ідея в рамках теорії алгебраїчних рівнянь. Незалежно та з інших причин вона виникла в геометрії, коли в середині XIX в. на зміну єдиної античної геометрії прийшли численні «геометрії» і гостро постало питання про встановлення зв'язків і спорідненості між ними. Вихід був вказаний «Ерлангенском програмою» Клейна (1872), що поклала в основу класифікації геометрій поняття групи перетворень. Третє джерело поняття групи - теорія чисел. Відзначимо тут роботу Ейлера про відрахування, які залишаються при розподілі ступенів (1761), і роботу Гаусса про композицію двійкових квадратичних форм (1801).

В даний час теорія груп є однією з найбільш розвинених областей алгебри, має численні застосування як в самій математиці, так і за її межами - в топології, теорії функцій, кристалографії, квантової механіки і інших областях математики.

Найстаршою і як і раніше інтенсивно розвивається гілкою теорії груп є теорія кінцевих груп. Важливе місце в ній займає знаходження кінцевих простих груп, до яких відносяться класичні групи матриць над кінцевими полями, кілька серій груп автоморфізмів алгебр Лі, а також окремі «спорадичні »групи. На іншому полюсі знаходяться кінцеві розв'язні групи, в них зазвичай цікавляться специфічними системами підгруп (холлівські, картерівські тощо), багато в чому визначають будову самої групи. Часто кінцеві групи виникають у формі груп підстановок або матриць над кінцевими полями; вивченню уявлень матрицями і підстановками присвячена велика самостійний напрям теорії кінцевих груп.

Метою даної роботи є вивчення розв’язних груп, які вперше з’явилися у видатного французького математика Евариста Галуа (1811-1832), при дослідженні проблеми розв’язності алгебраїчних рівнянь у радикалах. Походження терміну «розв’язні групи» також пов’язане з цією проблематикою.

ВИСНОВКИ

 

У даній курсовій роботі вивчено і теорію розв’язних груп - груп, які володіють кінцевим субнормальними та нормальними рядами з абелевими факторами. Довжина найкоротшого розв’язного ряду групи називається його довжиною або  ступенем розвязності. Найважливішим із таких рядів є ряд комутантів, або похідний ряд. Термін «розв’язні ряди» виник в теорії Галуа і пов'язаний з розв'язністю алгебраїчних рівнянь в радикалах.

Кінцеві розв’язні групи мають субнормальним рядом з факторами простих порядків. Ці групи характеризуються справедливістю наступного твнрдження теореми Лагранжа; для будь-якого розкладу п = п₁ п₂ порядку n группи на два взаємно простих співмножники існує підгрупа порядку п₁, і всі підгрупи порядку n₁ пов'язані між собою. Якщо порядок кінцевої групи ділиться тільки на два простих числа, то така група розв’язна. У класі Р. р. кінцеві групи виділяються як звичайно породжені періодичн. групи.

Окремими випадками розв’язних груп є нільпотентні групи, поліциклічні групи, метабелеві групи. Важливий підклас утворюють кінцево породжені групи, які є розширеннями своєї абелевой нормальної підгрупи за допомогою поліціклічної факторгрупи. Вони задовольняють умови максимальності для нормальних підгруп і є фінітно апроксимуючі. Будь-яка зв'язна розв’язна група Лі, а також розв’язні ряди матриць має нільпотентний коммутант. Будь-яка матрична розв’язна група над алгебраїчно замкненим полем має підгрупу кінцевого індексу, сполучену з підгрупою трикутної групи.

 

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

 

1. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.- 3-е изд., перераб. идоп.- М.: Наука, 1982.- 288 с.

2. Белоногов В. А., Ф о м и н А. Н. Матричные представления в теории конечных групп.— М.: Наука, 1976.

3. Горчаков Ю.М. Группы с конечными классами сопряженных элементов.— М.: Наука, 1978.

4. Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упоряупорядоченные группы.- М.: Наука, 1972.

5. Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие соотношения дискретных групп.- М.: Наука, 1980.

6. Куро ш А. Г. Теория групп.- 3-е изд.- М.: Наука, 1967.

7. Курош А. Г., Черников С. Н. Разрешимые и нильпотентные группы.- УМН, 1947, 2, № 3, с. 18-59.